Jawaban Soal 3

Jawaban dari soal No.3 pada postingan “Soal Struktur Aljabar (Gelanggang) dan Penyelesaiannya

Pertama kita tunjukkan bahwa P grup Komutatif terhadap penjumlahan,

Ambil sebarang a=3x dan b=3y \in P

Adit a+b \in P

a+b=3x+3y=(x+x+x)+(y+y+y)=(x+y)+(x+y)+(x+y)

=3(x+y), karena x+y \in Z, maka a+b \in P

Ambil sebarang a=3x dan b=3y \in P akan ditunjukkan a+b=b+a

Perhatikan: a+b=3x+3y=3(x+y)=3(y+x)=3y+3x=b+a

Ambil sebarang a=3x,b=3y,c=3z \in P akan ditunjukkan (a+b)+c=a+(b+c)

Perhatikan: a+(b+c)=3x+(3y+3z)=3x+3(y+z)=3(x+(y+z))=3((x+y)+z)=3(x+y)+3z=(3x+3y)+3z=(a+b)+c

Perhatikan bahwa 0 \in Z pilih 3.0=0 \in P

Ambil sebarang a=3x \in P, akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P

Perhatikan a+0=3x+3.0=3(x+0)=3x=a . Ini berarti 0 unsur nol dalam P

Ambil sebarang a=3x \in P. Pilih b=3(-x) \in P akan ditunjukkan –(3x)=3(-x)

Perhatikan 3(x)+3(-x)=3(x+(-x))=3.0=0

Jadi –(3x)=3(-x)

Selanjutnya menunjukkan P semi grup terhadap operasi perkalian

Ambil sebarang a=3x dan b=3y \in P akan ditunjukkan a.b \in P

Perhatikan a.b=3x.3y=3.3xy=3(3xy), karena 3xy \in Z, maka a.b \in P

Ambil sebarang a=3x,b=3y,c=3z \in P, akan ditunjukkan a(b.c)=(ab)c

Perhatikan a(b.c)=3x(3y.3z)=3x(3(3yz))=3.3.3(x(yz))=3.3.3((xy)z)=3.3(xy)3z=(3x3y)3z=(ab)c

Selanjutnya menunjukkan bahwa P distributif terhadap penjumlahan

Ambil sembarang a=3x,b=3y,c=3z \in P

akan ditunjukkan  a(b+c)=a.b+a.c dan (b+c)a=b.a+b.c

Perhatikan : $latex a(b+c)=3x(3y+3z) =3x(3(y+z))=3.3(x(y+z))=3.3(xy+xz)= 3.3(xy)3z=3.3xy+3.3xz=ab+ac

(b+c)a=(3y+3z)3x=((y+z)3)3x=((y+z)x)3.3=(yx+yz)3.3=3.3yx+3.3zx=3y.3x+3z.3x=b.a+b.c$

Selanjutnya menunjukkan P komutatif terhadap perkalian

Ambil sebarang a=3x dan b=3y \in P akan di tunjukkan a.b=b.a

Perhatikan

a.b=3x.3y=3.3xy=3.3yx=3y.3x=b.a

jadi P adalah Gelanggang atau Ring Komutatif.

One response to “Jawaban Soal 3

  1. Ping-balik: Soal Struktur Aljabar ( Gelanggang ) dan Penyelesaiannya | ajust"BLOG"

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s