Grup Siklik

Diketahui ( G, * ) adalah grup, maka ada e yang merupakan elemen identitas pada G terhadap operasi *, sehingga a * e = e * a = a untuk setiap a є G, karena a є G maka ada a-1 adalah invers dari a, sehingga a * a-1 = a-1 * a = a

Jika diberikan ( G, * ) yang merupakan grup, dimana a є G, dan H = { an | n є Z }.

Maka unsur a disebut pembangun grup H, serta dinotasikan < a > = H

Teorema 1

Setiap grup siklik merupakan grup komutatif

Bukti:

Misalkan G adalah grup siklik dan a є G merupakan pembanggun G,

Maka ambil sebarang elemen g1, g2 є G. Karena G merupakan grup siklik,

Jadi terdapat bilangan r, s є Z sehingga g1 = ar dan g2 = as

Perhatikan :

g1 * g2 = ar * as

= a * a *…* a —— sebanyak r + s kali

= a r+s

= a s+r

= as * ar

= g2 * g1

Jadi, terbukti bahwa G adalah grup komutatif . QED

Teorema 2

Subgrup pada suatu grup siklik merupakan grup siklik.

Bukti:

Misalkan G merupakan grup siklik yang dibangun oleh a dan H subgrup dari G. Akan ditunjukkan bahwa  H merupakan grup siklik. Jika  H = { e }, jelas bahwa < e > = H sehingga H merupakan grup siklik. Jika  H  ≠  { e }, maka terdapat elemen  x H dengan x ≠ e  . Karena  H merupakan subgrup dari  G, maka  x G dan berakibat x = an H untuk suatu n Z+ . Pilih bilangan m Z+ sebagai bilangan yang teerkecil sehingga am H

Akan ditunjukkan bahwa < am > = H.

Ambil sebarang y H dank arena h merupakan subgroup darii G, maka x G dan berakibat yz H untuk suatu z Z+

Perhatikan :

m ≤ z dan dari algoritma pembagian di Z diperoleh z = mq + r untuk suatu q,r Z dan 0 ≤ r ≤ m, sehingga diperoleh

az = amq + r = amq ar

dan

ar = (am ) – q az

karena am , az H dan H adalah grup, akibatnya (am ) – q H dan (am ) – q az H.

jadi, diperoleh ar = (am ) – q az H, karena m adalah bilangan yang terkecil sehingga am H dan karena 0 ≤ r ≤ m, maka dengan kata lain r = 0 sehingga ar = a0 = e dan diperoleh:

az = amq + r =  (am ) q

jadi, karena untuk sebarang y H berlaku y = (am ) q , maka < am > = H  jadi otomatis H adalah grup siklik . QED

2 responses to “Grup Siklik

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s